TUGAS 7 EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

NAMA:RAFI DIO ADIBTA

NIM:202231031

KELAS:S1 INFORMATIKA

MATA KULIAH:ALJABAR LINEAR

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi
• Jika A adalah matriks n x n maka vektor tidak-nol x di Rn disebut vektor
eigen dari A jika Ax sama dengan perkalian suatu skalar  dengan x, yaitu
Ax = x
Skalar  disebut nilai eigen dari A, dan x dinamakan vektor eigen yang
berkoresponden dengan .
• Kata “eigen” berasal dari Bahasa Jerman yang artinya “asli” atau
“karakteristik”.
• Dengan kata lain, nilai eigen menyatakan nilai karakteristik dari sebuah
matriks yang berukuran n x n. 

Contoh 1: Eigen Vektor dari Matriks 2 x 2

Vektor $x=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

adalah vektor eigen dari

yang bersesuaian dengan nilai eigen $\lambda =3$

karena

Secara geometris, perkalian terhadap A telah merentangkan vektor $x$

dengan faktor 3 (Perhatikan Gambar 1).

 

contoh 2: Mencari Nilai Eigen

Dalam Contoh 1, kita telah mengetahui bahwa $\lambda =3$

merupakan nilai eigen dari matriks

Dari persamaan (1) bahwa nilai eigen dari $A$

merupakan solusi dari persamaan $det(\lambda I-A)=0$

, yang mana bisa dituliskan sebagai

Sehingga, kita peroleh:

$$(\lambda -3)(\lambda +1)=0$$

(2)

adalah $\lambda =3$ dan $\lambda =-1$. Oleh karena itu, selain nilai eigen $\lambda =3$ yang ada pada Contoh 1, kita juga menemukan nilai eigen yang kedua yaitu $\lambda =-1$.

Contoh 3: Tidak Ada Nilai Eigen

$$A=\left[\begin{array}{cc}-2& -1\\ 5& 2\end{array}\right]$$

Pembahasan:

Dengan melakukan cara yang sama seperti pada Contoh 2, maka

$$A=\left|\begin{array}{cc}\lambda +2& 1\\ -5& \lambda -2\end{array}\right|={\lambda }^2+1$$

sehingga nilai-nilai eigen dari $A$

harus memenuhi persamaan kuadratik ${\lambda }^2+1=0$. Karena solusi dari persamaan ini hanyalah bilangan-bilangan imajiner $\lambda =i$ dan $\lambda =-i$, dan karena kita menganggap bahwa semua skalar kita adalah bilangan riil, maka $A$ tidak mempunyai nilai eigen.